Title: Parcours

Parcours personnalisé

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Un énoncé

1. Une question de \(maths\)
2. a) Une sous question

Sans titre

Q: Je veux
- Me tester
- M'exercer
- Réviser

Sans titre

Q: Vous allez passer un quizz de 10 questions. Quelle niveau de difficulté souhaitez-vous ?
- Facile
- Moyen
- Difficile

Sans titre

Quizz

Q: Pour tout \(n\) entier naturel, on a : \[\sum_{k=0}^n 1 = n\]
A: false
If right: En effet,
il y a \(n+1\) termes dans cette somme : on somme donc \(n+1\) fois \(1\) (qui ne dépend pas de \(n\)), donc on a : \[\sum_{k=0}^n 1 = n+1\]
If wrong: Eh bien non,
il y a \(n+1\) termes dans cette somme : on somme donc \(n+1\) fois \(1\) (qui ne dépend pas de \(n\)), donc on a : \[\sum_{k=0}^n 1 = n+1\]

Quizz

Q: Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(E \cap F\) est inclus dans \(E \cup F\).
A: true
If right: En effet,
si \(x\) appartient à \(E \cap F\) alors en particulier \(x\) appartient à \(E\) et à \(F\), donc \(x\) est évidemment dans \(E \cup F\).
If wrong: Eh bien si,
si \(x\) appartient à \(E \cap F\) alors en particulier \(x\) appartient à \(E\) et à \(F\), donc \(x\) est évidemment dans \(E \cup F\).

Quizz

Q: La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+,\ x \mapsto x^2\) est bijective.
A: false
If right: En effet,
\(4\) a deux antécédents par \(f\) : \(2\) et \(-2\).
If wrong: Eh bien non,
\(4\) a deux antécédents par \(f\) : \(2\) et \(-2\).
La fonction n'est donc pas injective, elle ne peut donc pas être bijective.

Quizz

Q: Si \(n\) est un entier tel que \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.
A: true
If right: En effet,
en raisonnant par contraposion, on peut voir que si \(n\) est impair, alors on peut écrire \(n=2k+1\) avec \(k\) entier, d'où le fait que \(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\) est impair également.
If wrong: Eh bien si,
en raisonnant par contraposion, on peut voir que si \(n\) est impair, alors on peut écrire \(n=2k+1\) avec \(k\) entier, d'où le fait que \(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\) est impair également.

Quizz

Q: Le cardinal de \(\left\{ x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x^2+1 = 0 \right\}\) est \(0\).
A: true
If right: En effet, il n'existe pas de réel donc le carré vaut \(-1\).
If wrong: Eh bien si, si le cardinal de cet ensemble était strictement positif, alors il existerait un réel dont le carré vaut \(-1\), ce qui est contradictoire.

Quizz

Q: \(f : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+,\ x \mapsto x^2\) est bijective.
A: true
If right: En effet,
sa fonction réciproque est la fonction racine carrée : pour tout réel positif \(y\), \(y\) admet un unique antécédent par \(f\) dans \(\mathbb{R}_+\), il s'agit de \(x:=\sqrt{y}\).
Cela montre l'importance des ensembles de départ et d'arrivée dans la définition d'une fonction.
If wrong: Eh bien si,
sa fonction réciproque est la fonction racine carrée : pour tout réel positif \(y\), \(y\) admet un unique antécédent par \(f\) dans \(\mathbb{R}_+\), il s'agit de \(x:=\sqrt{y}\).
Cela montre l'importance des ensembles de départ et d'arrivée dans la définition d'une fonction.

Quizz

Q: Soient les ensembles \(E =\left \{ x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x^3 = -1\right \}\) et \(F = \{0,1 \}\), alors l'intersection \(E \cap F\) est vide.
A: true
If right: En effet, \(E= \{-1 \}\) donc \(E \cap F = \emptyset\).
If wrong: Eh bien si, on remarque que \(1^3\) et \(0^3\) sont différents de \(-1\), donc \(E\) et \(F\) ne possèdent pas d'éléments communs.

Quizz

Q: Pour tout réel \(a\), on a que \(a^2+1 = 0\) implique \(a^2-1=0\).
A: true
If right: En effet,
en logique classique, \(A\Longrightarrow B\) équivaut à \(\bar A\text{ ou }B\) (où \(\bar A\) désigne la négation de \(A\)). Ici \(a^2+1 = 0\) est faux quelque soit la valeur du réel \(a\), cette proposition implique donc n'importe qu'elle autre proposition. Ce phénomène s'appelle le principe d'explosion.
If wrong: Eh bien si,
en logique classique, \(A\Longrightarrow B\) équivaut à \(\bar A\text{ ou }B\) (où \(\bar A\) désigne la négation de \(A\)). Ici \(a^2+1 = 0\) est faux quelque soit la valeur du réel \(a\), cette proposition implique donc n'importe qu'elle autre proposition. Ce phénomène s'appelle le principe d'explosion.

Quizz

Q: Pour tout réel \(a\), on a : \[\sum_{k=0}^{n} a^k = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\]
A: false
If right: En effet,
la proposition n'est vraie que si \(a\neq1\), elle n'a en revanche aucun sens quand \(a=1\).
If wrong: Eh bien non,
la proposition n'est vraie que si \(a\neq1\), elle n'a en revanche aucun sens quand \(a=1\).

Quizz

Q: Si l'ensemble \(A\) est inclus dans l'ensemble \(B\), alors pour tout ensemble \(C\), on a que \(A \cap C\) est inclus dans \(B\).
A: true
If right: En effet,
on peut voir ça comme une conséquence de la transitivité de la relation d'inclusion : \(A \cap C\subset A\subset B\) donc \(A \cap C\subset B\).
If wrong: Eh bien si,
on peut voir ça comme une conséquence de la transitivité de la relation d'inclusion : \(A \cap C\subset A\subset B\) donc \(A \cap C\subset B\).

Sans titre

Quizz

Q: Soient \(n\) un entier naturel et \(a\) et \(b\) des réels, alors \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k} = (a+b)^n\]
A: true
If right: En effet,
il s'agit de la formule du binôme de Newton.
If wrong: Eh bien si,
il s'agit de la formule du binôme de Newton.

Quizz

Q: Pour tout entier naturel \(n\), si \(E\) est un ensemble de cardinal \(n\), alors \(E\) a exactement \(2n\) sous-ensembles.
A: false
If right: En effet,
pour tout entier naturel \(n\), \(E\) a exactement \(2^n\) sous-ensembles, mais l'égalité \(2^n = 2n\) n'est vérifiée que pour l'entier naturel \(n=1\).
If wrong: Eh bien non, comme le montre le contre-exemple suivant : soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels distincts, l'ensemble \(\{a,b,c\}\) a exactement \(8\) sous-ensembles. En effet, on a : \[\mathscr P\left(\{a,b,c\}\right)=\left\{\emptyset,\{a \}, \{b \},\{c \},\{a,b \},\{a,c \}, \{b,c \},\{a,b,c \}\right\}\] donc \(\card\left(\mathscr P\left(\{a,b,c\}\right)\right)=8\neq6=2\card\left(\{a,b,c\}\right) \).<br>Plus généralement,
pour tout entier naturel \(n\), \(E\) a exactement \(2^n\) sous-ensembles, mais l'égalité \(2^n = 2n\) n'est vérifiée que pour l'entier naturel \(n=1\).

Quizz

Q: Pour tout entier naturel \(n\) et tout couple de réel \(a,b\), on a : \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k} = (a-b)^n\]
A: false
If right: En effet,
La formule est clairement fausse pour \(n=1\) et \(b\neq0\). La formule du binôme de Newton nous donne en général : \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k (-b)^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k}\]
If wrong: Eh bien non,
La formule est clairement fausse pour \(n=1\) et \(b\neq0\). La formule du binôme de Newton nous donne en général : \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k (-b)^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k}\]

Quizz

Q: \(0 \in \{\{ 0 \}\}\)
A: false
If right: En effet,
le seul élément de \(\{\{ 0 \}\}\) est \(\{ 0 \}\).
Il faut bien faire la différence entre \(0\) et le singleton \(\{ 0 \}\).
If wrong: Eh bien non,
le seul élément de \(\{\{ 0 \}\}\) est \(\{ 0 \}\).
Il faut bien faire la différence entre \(0\) et le singleton \(\{ 0 \}\).

Quizz

Q: Soit \(P\) l'ensemble des nombres premiers et \(E\) l'ensemble des entiers pairs. Alors \(\sum_{x \in E \cap P}x =0 \).
A: false
If right: En effet,
\(E \cap P = \{2 \}\), donc la somme vaut 2.
If wrong: Eh bien non,
\(E \cap P = \{2 \}\), donc la somme vaut 2.
Un nombre premier n'est pas nécessairement impair !

Quizz

Q: \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{R} = \emptyset\).
A: false
If right: En effet,
\(\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{R}\).
If wrong: Eh bien non,
\(\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{R}\).

Quizz

Q: \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}\)
A: true
If right: En effet,
c'est la formule de Pascal.
If wrong: Eh bien si,
c'est la formule de Pascal.

Quizz

Q: Soit \(a\) un nombre réel quelconque, alors \(a \in \emptyset \Longrightarrow a^2=0\).
A: true
If right: En effet,
peu importe que \(a^2\) soit nul ou non,
comme il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide, la proposition \(a \in \emptyset\) est fausse et implique donc toute autre proposition.
If wrong: Eh bien si,
peu importe que \(a^2\) soit nul ou non,
comme il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide, la proposition \(a \in \emptyset\) est fausse et implique donc toute autre proposition.

Quizz

Q: Pour tout entier naturel \(n\), on a : \[\prod_{k=1}^{n} k^2 =(n^2)!\]
A: false
If right: En effet,
la formule est fausse pour \(n=3\), le produit vaut \(1\times4\times 9 = 36\) dans ce cas, alors que \(9!=362880\).
La formule générale de ce produit est :
\[\prod_{k=1}^{n} k^2 =(n!)^2\]
If wrong: Eh bien non,
la formule est fausse pour \(n=3\), le produit vaut \(1\times4\times 9 = 36\) dans ce cas, alors que \(9!=362880\).
La formule générale de ce produit est :
\[\prod_{k=1}^{n} k^2 =(n!)^2\]

Quizz

Q: Le théorème de Pythagore affirme que si un triangle de côté \(a\), \(b\) et \(c\) est rectangle, alors \(a^2 = b^2 + c^2\). La contraposée du théorème de Pythagore est : Si un triangle de côté \(a\), \(b\) et \(c\) vérifie \(a^2 = b^2 + c^2\) alors ce triangle est rectangle.
A: false
If right: En effet, il s'agit de la réciproque de ce théorème.
If wrong: Eh bien non, cette proposition est la réciproque du théorème de Pythagore. Sa contraposée affirme que si \(a^2 \neq b^2 + c^2\) alors le triangle n'est pas rectangle.

Sans titre

Quizz

Q: \(A\) inclus dans \(B \cup C\) implique \(A\) inclus dans \(B\) ou \(A\) inclus dans \(C\)
A: false
If right: En effet,
en prenant \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) 4 éléments distincts. et en considérant \(A:=\{ b,c\}\), \(B := \{a,b \}\) et \(C:=\{c,d\}\), on a alors que \(A\) est inclus dans \(B \cup C\) sans que \(A\) ne soit inclus ni dans \(B\) ni dans \(C\).
If wrong: Eh bien non,
en prenant \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) 4 éléments distincts. et en considérant \(A:=\{ b,c\}\), \(B := \{a,b \}\) et \(C:=\{c,d\}\), on a alors que \(A\) est inclus dans \(B \cup C\) sans que \(A\) ne soit inclus ni dans \(B\) ni dans \(C\).

Quizz

Q: Il n'y a pas d'application strictement décroissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\).
A: true
If right: En effet,
si on suppose qu'il existe une application \(f\) strictement décroissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\), alors \(m:=\min f(\mathbb{N})\) (qui est bien défini car \(f(\mathbb{N})\subset\mathbb N\) s'écrit sous la forme \(f(k)=m\) pour un certain entier \(k\) et vérifie donc, par stricte décroissance de \(f\), \(m=f(k)>f(k+1)\geq m\) (car \(f(k+1)\in f(\mathbb{N})\)), d'où la contradiction.
If wrong: Eh bien si,
si on suppose qu'il existe une application \(f\) strictement décroissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\), alors \(m:=\min f(\mathbb{N})\) (qui est bien défini car \(f(\mathbb{N})\subset\mathbb N\) s'écrit sous la forme \(f(k)=m\) pour un certain entier \(k\) et vérifie donc, par stricte décroissance de \(f\), \(m=f(k)>f(k+1)\geq m\) (car \(f(k+1)\in f(\mathbb{N})\)), d'où la contradiction.

Quizz

Q: La composée de deux bijections est une bijection.
A: true
If right: En effet, la réciproque de \(f\circ g\) est \(g^{-1} \circ f^{-1}\).
pour toutes fonctions bijectives \(f:A\longrightarrow B\) et \(g:B\longrightarrow C\), la fonction \(f^{-1} \circ g^{-1}\) est une réciproque à droite et à gauche de \(g\circ f\), d'où la bijectivité de \(g\circ f\).
If wrong: Eh bien si,
pour toutes fonctions bijectives \(f:A\longrightarrow B\) et \(g:B\longrightarrow C\), la fonction \(f^{-1} \circ g^{-1}\) est une réciproque à droite et à gauche de \(g\circ f\), d'où la bijectivité de \(g\circ f\).

Quizz

Q: Il y a un nombre fini de nombre premiers.
A: false
If right: En effet,
si on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers \(p_1<...<p_k\), alors en posant \(n = \prod_{i=1}^k p_i+1\), on remarque qu'aucun nombre premier ne divise \(n\). En effet, par construction de \(n\), le reste dans la division par \(n\) de \(p_i\) est 1 pour tout \(i\in[\![,k]\!]\). On a ainsi que l'entier \(n\) est premier alors qu'il est strictement supérieur à tout nombre premier, ce qui est contradictoire.
If wrong: Eh bien non,
si on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers \(p_1<...<p_k\), alors en posant \(n = \prod_{i=1}^k p_i+1\), on remarque qu'aucun nombre premier ne divise \(n\). En effet, par construction de \(n\), le reste dans la division par \(n\) de \(p_i\) est 1 pour tout \(i\in[\![,k]\!]\). On a ainsi que l'entier \(n\) est premier alors qu'il est strictement supérieur à tout nombre premier, ce qui est contradictoire.

Quizz

Q: Soit \(n\) un entier strictement positif, alors \(\sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} =0\)
A: true
If right: En effet,
la formule du binôme de Newton permet d'affimer que cette somme vaut \((1-1)^n\), qui est nul dès que \(n\) est non nul.
If wrong: Eh bien non,
la formule du binôme de Newton permet d'affimer que cette somme vaut \((1-1)^n\), qui est nul dès que \(n\) est non nul.

Quizz

Q: La négation de \(A \Longrightarrow B\) est \(A\text{ et }\bar B\), où \(bar B\) désigne la négation de \(B\).
A: true
If right: En effet,
\(A \Rightarrow B\) équivaut à \(\bar A\text{ ou }B\), sa négation est donc bien \(A\text{ et }\bar B\) d'après les formules de De Morgan.
If wrong: Eh bien non,
\(A \Rightarrow B\) équivaut à \(\bar A\text{ ou }B\), sa négation est donc bien \(A\text{ et }\bar B\) d'après les formules de De Morgan.

Quizz

Q: La négation de la proposition \(\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0,\ \delta > \varepsilon\) est \(\exists \varepsilon \leq 0,\ \forall \delta\leq0,\ n \leq \varepsilon\).
A: false
If right: En effet, une application des règles de De Morgan généralisées donne \(\exists \varepsilon <0,\ \forall \delta<0,\ n \leq \varepsilon\).
If wrong: Eh bien non, c'est une confusion courante : quand on applique les règles de De Morgan généralisées sur des expressions quantifiées, les négations ne s'appliquent pas sur les propriétés accolées aux quantificateurs. Pour vous en convaincre, vous pouvez appliquer les règles de De Morgan généralisées à la prosition \(\forall \varepsilon,\ \varepsilon>0 \Longrightarrow\exists \delta,\ \delta>0\text{ et }\delta > \varepsilon\), qui n'est autre que la version non raccourcie de la proposition de départ.

Quizz

Q: Pour tout entier strictement positif \(n\), on a : \[\sum_{k=1}^n \ln(1+\frac{1}{n}) = \ln(n)\]
A: false
If right: En effet,
il suffit de prendre \(n=1\) pour le vérifier. On remarque cependant que pour tout entier strictement positif \(k\), on a \(\ln(1+\frac{1}{k})= \ln(\frac{k+1}{k})= \ln(k+1) - \ln(k)\), ainsi, par télescopage, la somme vaut \(\ln(n+1)\).
If wrong: Eh bien non,
il suffit de prendre \(n=1\) pour le vérifier. On remarque cependant que pour tout entier strictement positif \(k\), on a \(\ln(1+\frac{1}{k})= \ln(\frac{k+1}{k})= \ln(k+1) - \ln(k)\), ainsi, par télescopage, la somme vaut \(\ln(n+1)\).

Quizz

Q: Pour tout couple d'entiers naturels \((n,k)\), on a : \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \frac{n!}{k! (n-k)!}\]
A: false
If right: En effet,
cette formule n'est valable que si \(n\geq k\), et n'a pas de sens sinon.
If wrong: Eh bien non,
cette formule n'est valable que si \(n\geq k\), et n'a pas de sens sinon.

Quizz

Q: Le cardinal d'un produit cartésien d'ensembles finis est le produit des cardinaux des ensembles.
A: true
If right: En effet,
c'est d'ailleurs de là que vient cette dénomination !
If wrong: Eh bien si,
c'est d'ailleurs de là que vient cette dénomination !

Sans titre

Q: Choisissez un exercice du polycopié, puis accédez à sa correction en vidéo
- Exercice 4 : Raisonnement par analyse synthèse
- Exercice 6 : Calcul de produits d'entiers pairs ou impairs
- Exercice 7 : Autour de la formule de Pascal

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Choose the correct statement.

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