TeacherCorner/Exemples/BTS 1 - DST 1 - Questions à rédiger - Correction.lyx

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\begin_layout Title
\paragraph_spacing onehalf
Correction du DST 1
\end_layout

\begin_layout Section*
\paragraph_spacing onehalf
Exercice 1
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Certains ont été perturbés, à juste titre, par le fait que la suite commence
 à 
\begin_inset Formula $u_{0}$
\end_inset

 alors que l'énoncé prétend qu'elle commence au rang 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

...
 Vous trouverez donc ci-dessous la correction pour les deux interprétations
 de l'énoncé !
\end_layout

\begin_layout Itemize
\paragraph_spacing onehalf
Soit la suite 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $u_{0}=2$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $u_{n+1}=5u_{n}+4$
\end_inset

 pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\geqslant0$
\end_inset

, et soit 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 la suite définie par 
\begin_inset Formula $v_{n}=u_{n}+1$
\end_inset

 pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\geqslant0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Montrer que la suite 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme
 puis donner une formule pour 
\begin_inset Formula $v_{n}$
\end_inset

 puis pour 
\begin_inset Formula $u_{n}$
\end_inset

 en fonction de l'entier naturel 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\paragraph_spacing onehalf
On a, pour tout entier naturel 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{rl}
v_{n+1} & =u_{n+1}+1\\
 & =5u_{n}+4+1\\
 & =5u_{n}+5\\
 & =5\left(u_{n}+1\right)\\
 & 5v_{n}
\end{array}
\]

\end_inset

Ce qui montre que la suite 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 est géométrique de raison 
\begin_inset Formula $5$
\end_inset

.
 Son premier terme étant 
\begin_inset Formula $v_{0}=u_{0}+1=2+1=3$
\end_inset

, on a que, pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
v_{n}=3\times5^{n}
\]

\end_inset

On en déduit que, pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
u_{n}=v_{n}-1=3\times5^{n}-1
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\paragraph_spacing onehalf
Soit la suite 
\begin_inset Formula $u$
\end_inset

 telle que 
\begin_inset Formula $u_{1}=2$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $u_{n+1}=5u_{n}+4$
\end_inset

 pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\geqslant1$
\end_inset

, et soit 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 la suite définie par 
\begin_inset Formula $v_{n}=u_{n}+1$
\end_inset

 pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\geqslant1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Montrer que la suite 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme
 puis donner une formule pour 
\begin_inset Formula $v_{n}$
\end_inset

 puis pour 
\begin_inset Formula $u_{n}$
\end_inset

 en fonction de l'entier naturel non nul 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\paragraph_spacing onehalf
On a, pour tout entier naturel non nul 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{rl}
v_{n+1} & =u_{n+1}+1\\
 & =5u_{n}+4+1\\
 & =5u_{n}+5\\
 & =5\left(u_{n}+1\right)\\
 & 5v_{n}
\end{array}
\]

\end_inset

Ce qui montre que la suite 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 est géométrique de raison 
\begin_inset Formula $5$
\end_inset

.
 Son premier terme étant 
\begin_inset Formula $v_{1}=u_{1}+1=2+1=3$
\end_inset

, on a que, pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
v_{n}=3\times5^{n-1}
\]

\end_inset

On en déduit que, pour tout entier 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 :
\begin_inset Formula 
\[
u_{n}=v_{n}-1=3\times5^{n-1}-1
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf

\end_layout

\begin_layout Section*
\paragraph_spacing onehalf
Exercice 2
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Établir, en faisant apparaitre les calculs, le tableau de signe sur 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 de la fonction 
\begin_inset Formula $f:x\mapsto3x^{2}+4x-7$
\end_inset

 et en déduire les solutions sur 
\begin_inset Formula $\mathbb{R}$
\end_inset

 de l'inéquation 
\begin_inset Formula $3x^{2}+4x+8\leqslant15$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
(Si vous ne parvenez pas à le faire par le calcul, une résolution graphique
 du problème rapportera une partie des points)
\end_layout

\begin_layout Itemize
\paragraph_spacing double
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 est une fonction polynôme du second degré, son déterminant est 
\begin_inset Formula $\Delta=4^{2}-4\times3\times\left(-7\right)=16+84=100>0$
\end_inset

, elle admet donc deux racines :
\begin_inset Formula 
\[
x_{1}=\frac{-4-\sqrt{100}}{2\times3}=-\frac{7}{3}\qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{-4+\sqrt{100}}{2\times3}=1
\]

\end_inset

Son coefficient dominant étant 
\begin_inset Formula $a=3>0$
\end_inset

, on en déduit le tableau de signe suivant :
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{tikzpicture}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

  
\backslash
tkzTabInit [ lgt = 3 ]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

    {$x$ / 1 , $3x^{2}+4x-7$ / 1}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

    {$-
\backslash
infty$, $-
\backslash
frac{7}{3}$, $1$, $+
\backslash
infty$}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

  
\backslash
tkzTabLine
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

    {, +, z, -, z, +, }
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{tikzpicture}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\paragraph_spacing onehalf
Ainsi, on a, pour tout réel 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

, les équivalences suivantes :
\begin_inset Formula 
\[
\begin{array}{rl}
3x^{2}+4x+8\leqslant15 & \Longleftrightarrow3x^{2}+4x+8-15\leqslant0\\
 & \Longleftrightarrow3x^{2}+4x-7\leqslant0\\
 & \Longleftrightarrow3x^{2}+4x-7\leqslant0\\
 & \Longleftrightarrow-\frac{7}{3}\leqslant x\leqslant1
\end{array}
\]

\end_inset

Les solutions réelles de l'inéquation 
\begin_inset Formula $3x^{2}+4x+8\leqslant15$
\end_inset

 sont donc les réels compris, au sens large, entre 
\begin_inset Formula $-\frac{7}{3}$
\end_inset

 et 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, autrement dit, les réels appartenant à l'intervalle 
\begin_inset Formula $\left[-\frac{7}{3};1\right]$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\end_body
\end_document