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* BranchingScenario Préliminaires
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** Text Introduction
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Ce parcours a pour but de vous guider vers les différents contenus numériques disponibles dans ce chapitre.</p>
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<p>En choisissant de vous tester, vous aurez accès à des quiz corrigés qui vous permettront de vous situer dans la compréhension des notions du cours.</p>
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<p>Vous pourrez également accéder à des contenus vidéos :
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<ol><li>des exercices du polycopié corrigés, dont l'utilité dépendra grandement du temps passer à essayer de résoudre les problèmes par vous-même auparavant ;</li><li>un résumé des points essentiels du chapitre.</li></ol></p>
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<p>Les documents PDF sont quant à eux directement accessibles sous ce parcours.</p>
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<p>Ce parcours est en plein développement et s'enrichira énormément de vos retours, n'hésitez donc pas à nous faire remonter toutes les observations qui vous sembleront judicieuses.</p>
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** BranchingQuestion Je veux
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*** Me tester
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**** BranchingQuestion Vous allez passer un quizz de 10 questions. Quelle niveau de difficulté souhaitez-vous ?
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***** Facile
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****** CoursePresentation Quizz niveau facile
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******** TrueFalse - Pour tout \(n\) entier naturel, on a : \[\sum_{k=0}^n 1 = n\]
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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il y a \(n+1\) termes dans cette somme : on somme donc \(n+1\) fois \(1\) (qui ne dépend pas de \(n\)), donc on a : \[\sum_{k=0}^n 1 = n+1\]
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******** TrueFalse + Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(E \cap F\) est inclus dans \(E \cup F\).
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+ En effet,
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- Eh bien si,
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si \(x\) appartient à \(E \cap F\) alors en particulier \(x\) appartient à \(E\) et à \(F\), donc \(x\) est évidemment dans \(E \cup F\).
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******** TrueFalse - La fonction \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+,\ x \mapsto x^2\) est bijective.
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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\(4\) a deux antécédents par \(f\) : \(2\) et \(-2\).
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- La fonction n'est donc pas injective, elle ne peut donc pas être bijective.
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******** TrueFalse + Si \(n\) est un entier tel que \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.
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+ En effet,
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- Eh bien si,
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en raisonnant par contraposion, on peut voir que si \(n\) est impair, alors on peut écrire \(n=2k+1\) avec \(k\) entier, d'où le fait que \(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\) est impair également.
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******** TrueFalse + Le cardinal de \(\left\{ x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x^2+1 = 0 \right\}\) est \(0\).
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+ En effet, il n'existe pas de réel donc le carré vaut \(-1\).
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- Eh bien si, si le cardinal de cet ensemble était strictement positif, alors il existerait un réel dont le carré vaut \(-1\), ce qui est contradictoire.
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******** TrueFalse + \(f : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+,\ x \mapsto x^2\) est bijective. + En effet,
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- Eh bien si,
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sa fonction réciproque est la fonction racine carrée : pour tout réel positif \(y\), \(y\) admet un unique antécédent par \(f\) dans \(\mathbb{R}_+\), il s'agit de \(x:=\sqrt{y}\).
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Cela montre l'importance des ensembles de départ et d'arrivée dans la définition d'une fonction.
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******** TrueFalse + Soient les ensembles \(E =\left \{ x \in \mathbb{R}\ \middle|\ x^3 = -1\right \}\) et \(F = \{0,1 \}\), alors l'intersection \(E \cap F\) est vide. + En effet, \(E= \{-1 \}\) donc \(E \cap F = \emptyset\).
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- Eh bien si, on remarque que \(1^3\) et \(0^3\) sont différents de \(-1\), donc \(E\) et \(F\) ne possèdent pas d'éléments communs.
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******** TrueFalse + Pour tout réel \(a\), on a que \(a^2+1 = 0\) implique \(a^2-1=0\).
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+ En effet,
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- Eh bien si,
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en logique classique, \(A\Longrightarrow B\) équivaut à \(\bar A\text{ ou }B\) (où \(\bar A\) désigne la négation de \(A\)). Ici \(a^2+1 = 0\) est faux quelque soit la valeur du réel \(a\), cette proposition implique donc n'importe qu'elle autre proposition. Ce phénomène s'appelle le principe d'explosion.
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******** TrueFalse - Pour tout réel \(a\), on a : \[\sum_{k=0}^{n} a^k = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\] + En effet,
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- Eh bien non,
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la proposition n'est vraie que si \(a\neq1\), elle n'a en revanche aucun sens quand \(a=1\).
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******** TrueFalse + Si l'ensemble \(A\) est inclus dans l'ensemble \(B\), alors pour tout ensemble \(C\), on a que \(A \cap C\) est inclus dans \(B\). + En effet,
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- Eh bien si,
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on peut voir ça comme une conséquence de la transitivité de la relation d'inclusion : \(A \cap C\subset A\subset B\) donc \(A \cap C\subset B\).
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***** Moyen
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****** CoursePresentation Quizz niveau moyen
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******** TrueFalse + Soient \(n\) un entier naturel et \(a\) et \(b\) des réels, alors \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k} = (a+b)^n\]
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+ En effet,
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- Eh bien si,
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il s'agit de la formule du binôme de Newton.
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******** TrueFalse - Pour tout entier naturel \(n\), si \(E\) est un ensemble de cardinal \(n\), alors \(E\) a exactement \(2n\) sous-ensembles.
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+ En effet,
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- Eh bien non, comme le montre le contre-exemple suivant : soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels distincts, l'ensemble \(\{a,b,c\}\) a exactement \(8\) sous-ensembles. En effet, on a : \[\mathscr P\left(\{a,b,c\}\right)=\left\{\emptyset,\{a \}, \{b \},\{c \},\{a,b \},\{a,c \}, \{b,c \},\{a,b,c \}\right\}\] donc \(\mathrm{Card}\left(\mathscr P\left(\{a,b,c\}\right)\right)=8\neq6=2\mathrm{Card}\left(\{a,b,c\}\right) \). Plus généralement,
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pour tout entier naturel \(n\), \(E\) a exactement \(2^n\) sous-ensembles, mais l'égalité \(2^n = 2n\) n'est vérifiée que pour l'entier naturel \(n=1\).
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******** TrueFalse - Pour tout entier naturel \(n\) et tout couple de réel \(a,b\), on a : \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k} = (a-b)^n\] + En effet,
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- Eh bien non,
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La formule est clairement fausse pour \(n=1\) et \(b\neq0\). La formule du binôme de Newton nous donne en général : \[\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k (-b)^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^k b^{n-k}\]
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******** TrueFalse - \(0 \in \{\{ 0 \}\}\)
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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le seul élément de \(\{\{ 0 \}\}\) est \(\{ 0 \}\).
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Il faut bien faire la différence entre \(0\) et le singleton \(\{ 0 \}\).
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******** TrueFalse - Soit \(P\) l'ensemble des nombres premiers et \(E\) l'ensemble des entiers pairs. Alors \(\sum_{x \in E \cap P}x =0 \). + En effet,
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- Eh bien non,
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\(E \cap P = \{2 \}\), donc la somme vaut 2.
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- Un nombre premier n'est pas nécessairement impair !
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******** TrueFalse - \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{R} = \emptyset\).
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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\(\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{R}\).
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******** TrueFalse + \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}\) + En effet,
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- Eh bien si,
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c'est la formule de Pascal.
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******** TrueFalse + Soit \(a\) un nombre réel quelconque, alors \(a \in \emptyset \Longrightarrow a^2=0\). + En effet,
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- Eh bien si,
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peu importe que \(a^2\) soit nul ou non,
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comme il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide, la proposition \(a \in \emptyset\) est fausse et implique donc toute autre proposition.
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******** TrueFalse - Pour tout entier naturel \(n\), on a : \[\prod_{k=1}^{n} k^2 =(n^2)!\]
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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la formule est fausse pour \(n=3\), le produit vaut \(1\times4\times 9 = 36\) dans ce cas, alors que \(9!=362880\).
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La formule générale de ce produit est :
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\[\prod_{k=1}^{n} k^2 =(n!)^2\]
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******** TrueFalse - Le théorème de Pythagore affirme que si un triangle de côté \(a\), \(b\) et \(c\) est rectangle, alors \(a^2 = b^2 + c^2\). La contraposée du théorème de Pythagore est : Si un triangle de côté \(a\), \(b\) et \(c\) vérifie \(a^2 = b^2 + c^2\) alors ce triangle est rectangle. + En effet, il s'agit de la réciproque de ce théorème.
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- Eh bien non, cette proposition est la réciproque du théorème de Pythagore. Sa contraposée affirme que si \(a^2 \neq b^2 + c^2\) alors le triangle n'est pas rectangle.
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***** Difficile
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****** CoursePresentation Quizz niveau difficile
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******** TrueFalse - \(A\) inclus dans \(B \cup C\) implique \(A\) inclus dans \(B\) ou \(A\) inclus dans \(C\) + En effet,
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- Eh bien non,
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en prenant \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) 4 éléments distincts. et en considérant \(A:=\{ b,c\}\), \(B := \{a,b \}\) et \(C:=\{c,d\}\), on a alors que \(A\) est inclus dans \(B \cup C\) sans que \(A\) ne soit inclus ni dans \(B\) ni dans \(C\).
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******** TrueFalse + Il n'y a pas d'application strictement décroissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\).
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+ En effet,
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- Eh bien si,
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si on suppose qu'il existe une application \(f\) strictement décroissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\), alors \(m:=\min f(\mathbb{N})\) (qui est bien défini car \(f(\mathbb{N})\subset\mathbb N\) s'écrit sous la forme \(f(k)=m\) pour un certain entier \(k\) et vérifie donc, par stricte décroissance de \(f\), \(m=f(k)>f(k+1)\geq m\) (car \(f(k+1)\in f(\mathbb{N})\)), d'où la contradiction.
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******** TrueFalse + La composée de deux bijections est une bijection. + En effet, la réciproque de \(f\circ g\) est \(g^{-1} \circ f^{-1}\).
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- Eh bien si,
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pour toutes fonctions bijectives \(f:A\longrightarrow B\) et \(g:B\longrightarrow C\), la fonction \(f^{-1} \circ g^{-1}\) est une réciproque à droite et à gauche de \(g\circ f\), d'où la bijectivité de \(g\circ f\).
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******** TrueFalse - Il y a un nombre fini de nombre premiers.
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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si on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers \(p_1<...<p_k\), alors en posant \(n = \prod_{i=1}^k p_i+1\), on remarque qu'aucun nombre premier ne divise \(n\). En effet, par construction de \(n\), le reste dans la division par \(n\) de \(p_i\) est 1 pour tout \(i\in[\![,k]\!]\). On a ainsi que l'entier \(n\) est premier alors qu'il est strictement supérieur à tout nombre premier, ce qui est contradictoire.
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******** TrueFalse + Soit \(n\) un entier strictement positif, alors \(\sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} =0\)
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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la formule du binôme de Newton permet d'affimer que cette somme vaut \((1-1)^n\), qui est nul dès que \(n\) est non nul.
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******** TrueFalse + La négation de \(A \Longrightarrow B\) est \(A\text{ et }\bar B\), où \(\bar B\) désigne la négation de \(B\).
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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\(A \Rightarrow B\) équivaut à \(\bar A\text{ ou }B\), sa négation est donc bien \(A\text{ et }\bar B\) d'après les formules de De Morgan.
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******** TrueFalse - La négation de la proposition \(\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0,\ \delta > \varepsilon\) est \(\exists \varepsilon \leq 0,\ \forall \delta\leq0,\ \delta \leq \varepsilon\). + En effet, une application des règles de De Morgan généralisées donne \(\exists \varepsilon <0,\ \forall \delta<0,\ \delta \leq \varepsilon\).
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- Eh bien non, c'est une confusion courante : quand on applique les règles de De Morgan généralisées sur des expressions quantifiées, les négations ne s'appliquent pas sur les propriétés accolées aux quantificateurs. Pour vous en convaincre, vous pouvez appliquer les règles de De Morgan généralisées à la prosition \(\forall \varepsilon,\ \varepsilon>0 \Longrightarrow\exists \delta,\ \delta>0\text{ et }\delta > \varepsilon\), qui n'est autre que la version non raccourcie de la proposition de départ.
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******** TrueFalse - Pour tout entier strictement positif \(n\), on a : \[\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \ln(n)\] + En effet,
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- Eh bien non,
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il suffit de prendre \(n=1\) pour le vérifier. On remarque cependant que pour tout entier strictement positif \(k\), on a \(\ln(1+\frac{1}{k})= \ln(\frac{k+1}{k})= \ln(k+1) - \ln(k)\), ainsi, par télescopage, la somme vaut \(\ln(n+1)\).
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******** TrueFalse - Pour tout couple d'entiers naturels \((n,k)\), on a : \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} = \frac{n!}{k! (n-k)!}\]
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+ En effet,
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- Eh bien non,
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cette formule n'est valable que si \(n\geq k\), et n'a pas de sens sinon.
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******** TrueFalse + Le cardinal d'un produit cartésien d'ensembles finis est le produit des cardinaux des ensembles. + En effet,
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- Eh bien si,
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c'est d'ailleurs de là que vient cette dénomination !
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*** M'exercer
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**** BranchingQuestion Choisissez un exercice du polycopié, puis accédez à sa correction en vidéo
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***** Exercice 4 : Raisonnement par analyse synthèse
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****** Text Raisonnement par analyse synthèse
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Montrer que toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) peut se décomposer de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire définies sur \(\mathbb{R}\).
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****** InteractiveVideo Raisonnement par analyse synthèse
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https://youtu.be/OfH6l-gOaq8
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******* 178.5 TrueFalse + Il manque quelque chose.
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+ En effet,
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- Eh bien si,
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nous allons voir ça dans deux bonnes minutes !
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***** Exercice 6 : Calcul de produits d'entiers pairs ou impairs
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****** Text Calcul de produits d'entiers pairs ou impairs
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Soit \(n\) un entier naturel non nul.<br>
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Simplifier l'écriture des produits suivants :
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<ol>
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<li>\(2 n(2 n-2) \ldots 2\)</li>
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<li>\((2 n+1)(2 n-1) \ldots 1\)</li>
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</ol>
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****** InteractiveVideo Calcul de produits d'entiers pairs ou impairs
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https://youtu.be/OHUTIOpOzFc
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***** Exercice 7 : Autour de la formule de Pascal
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****** Text Autour de la formule de Pascal
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On rappelle que l'on a (formule de Pascal) :
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\[
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\forall(\mathrm{n}, \mathrm{p}) \in\left(\mathbb{N}^{*}\right)^{2},
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\quad\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix} \ =\ \begin{pmatrix}n-1\\p-1\end{pmatrix} \ +\ \begin{pmatrix}n-1\\p\end{pmatrix}
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\]
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<ol>
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<li>Montrer que :
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\(
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\forall(\mathrm{n}, \mathrm{p}) \in \mathbb{N}^{2},\quad
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\mathrm{n} \leq \mathrm{p} \Longrightarrow \displaystyle\sum_{k=n}^{p}\,\begin{pmatrix}k \\n\end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix}p+1\\n+1\end{pmatrix}
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\)</li>
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<li> Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels, avec \(n \leq p\). Calculer \(\displaystyle\sum_{k=n}^{p}(k+1)\,\begin{pmatrix}k \\ n\end{pmatrix} \)</li>
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<li> Soient \((\mathrm{i}, \mathrm{n})\) un couple d'entiers naturels non nuls. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{k}(\mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+2) \ldots(\mathrm{k}+\mathrm{i}-1)\)</li>
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<li> Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose : \(u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\,\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} \)<br>
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Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), simplifier \(u_{n+1}-u_{n}\) puis exprimer \(u_{n}\) sous forme d'une autre somme.</li>
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<li>Soit n un entier naturel non nul. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\,\begin{pmatrix}2 n+1 \\ k\end{pmatrix} \)</li>
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</ol>
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****** InteractiveVideo Autour de la formule de Pascal
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https://youtu.be/YgTH4-dqzSg
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*** Réviser
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**** InteractiveVideo Raisonnements, Ensembles, Applications
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https://youtu.be/FHriYEb9I1k
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